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Problema 874

a) Calcula \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\text{sen}^2x-3x^2}{e^{x^2}-\cos2x}.

b) Se desea construir una caja de base cuadrada, con tapa y con una capacidad de 80 dm³. Para la tapa y la superficie lateral se quiere utilizar un material que cuesta 2 €/dm²y para la base otro que cuesta 3 €/dm². Calcula las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo.

c) Calcula \int_0^1x\ln(1+x)~dx.

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Problema 862

a) Calcula a y b para que la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}e^{2x}+ax+b&\text{si}&x<0\\\frac12(x^2+2)&\text{si}&x\geq0\end{array}\right. sea continua y derivable en x=0.

b) Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es O(0,0), otro está sobre el eje x, otro sobre el eje y y otro sobre la recta 2x+3y=8.

c) Calcula \int_0^3x\sqrt{x+1}~dx.

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Problema 854

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola y=4-x^2, un cateto sobre el eje x y el otro paralelo al eje y, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.
b) Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.

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Problema 836

Un gimnasio cobra una cuota de 42 euros mensuales y tiene 2.000 usuarios. Un estudio de mercado afirma que por cada euro que sube (o se baja) la cuota se pierden (o se ganan) 20 usuarios.

a) Expresar el número de usuarios del gimnasio en función de la cuota, teniendo en cuenta que la relación entre las dos variables es lineal. Para qué valor de la cuota el gimnasio se quedaría sin usuarios?
b) Determinar en qué precio hay que fijar la cuota para obtener un beneficio mensual máximo. ¿Cuál sería ese beneficio y cuántos usuarios tendría el gimnasio en este caso?

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Problema 833

El precio en euros de una piedra preciosa es cinco veces el cuadrado de su peso en gramos. Si tenemos una piedra preciosa de 8 gramos y nos planteamos partirla en dos trozos:

a) ¿Qué peso tiene que tener cada uno de los trozos para que el conjunto valga lo menos posible?
b) ¿Cuál es el precio mínimo y el precio máximo que puede valer este conjunto?

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Problema 809

Una compañía de móviles presentó hace un año un teléfono inteligente al precio de 750 €. Recientemente, un estudio de mercado ha llegado a la conclusión de que, con este precio, compran el teléfono 2.000 clientes al mes, y que la relación entre estas dos variables es lineal, de manera que por cada 10 € que se incrementa el precio del móvil, lo compran 100 clientes menos, y al revés: por cada 10 € de descuento sobre el precio inicial de 750 €, lo compran 100 clientes más.

a) Deducir que la función que determina los ingresos mensuales de la compañía según el precio del móvil es I(p)=-10p^2+9500p.
b) Hallar cuál debe ser el precio del móvil para obtener ingresos, el precio del móvil que da los ingresos mensuales más elevados y el valor de estos ingresos máximos.

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