Un empresario quiere dedicar 50 horas laborables a cursos de formación para sus empleados y está considerando dos tipos de cursos de formación (F1 y F2). El curso F1 es más atractivo para sus empleados y cada hora de curso conseguiría aumentar la productividad de la empresa en un 1%, mientras que el curso F2, es menos atractivo para los empleados, pero mejoraría la productividad en un 2%. El empresario decide dedicar al menos 20 horas al curso F1 y no más de 35 horas al curso F2. Además, los empleados solicitan que se dedique al curso F1 una cantidad igual o superior de horas que al curso F2. ¿cuántas horas se debería dedicar a cada curso de formación si se desea maximizar el aumento de la productividad?

a) Plantee el problema.
b) Resuélvalo gráficamente.
c) Analice gráficamente qué ocurriría si considerando las preferencias de los empleados, el empresario modifica su idea inicial y decide no dedicar más de 10 horas al curso de formación F2.

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En el proceso de fabricación de cierta pintura se mezcla una cantidad x de polvo sintético con una cantidad y de polvo de un mineral. Se imponen las restricciones

     (para no rebasar un nivel de toxicidad en el proceso),
     (para mantener la gama de color adecuada),
     (para que la viscosidad no sea excesiva).

a) Dibuja en el plano la región factible de cantidades x e y que cumplen las restricciones.
b) ¿Cuál es la máxima cantidad de polvo de mineral que podemos usar?
c) ¿Cuál es la cantidad máxima posible de polvo (x + y) que permiten las restricciones, y cuánto incluye de cada tipo?

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Una empresa dedicada al comercio del textil desea liquidar 400 camisas y 300 pantalones. Para ello lanza dos ofertas: la oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón por 30 euros, y la oferta B consiste en un lote de dos camisas y un pantalón, que se vende a 40 euros. Hay que ofrecer al menos 40 lotes de la oferta A y al menos 20 de la oferta B.

a) Formular el correspondiente problema de programación lineal.
b) Representar la región factible.
c) Para maximizar las ganancias, ¿cuántos lotes se deben vender de cada tipo? ¿Cuál es la ganancia máxima?

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Un ayuntamiento concede una licencia para la construcción de una urbanización de, como máximo, 120 viviendas de dos tipos A y B. Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 100.000 euros y el de tipo B de 300.000 euros. El beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A es de 20.000 euros y por la venta de una de tipo B es de 40.000 euros.

a) Plantear la maximización del beneficio de la compañía como un problema de programación lineal.
b) Dibujar la región factible para la solución, indicando las rectas y vértices que la delimitan.
c) Calcular el número de viviendas de cada tipo que se han de construir para obtener el beneficio máximo. Determinar también ese beneficio máximo.

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Consideramos el siguiente sistema de inecuaciones:

a) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.
b) Determine el punto o puntos de esa región en donde la función alcanza sus valores máximo y mínimo.
c) Determine esos valores máximo y mínimo.

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En una explotación ganadera se crían 100 animales. Cada ejemplar necesita diariamente como mínimo 5 kg de piensos de origen animal y como mínimo 3 kg de piensos de origen vegetal. Hay dos marcas A y B que venden sacos con mezclas de dichos piensos. La marca A vende sacos con 7 kg de piensos animales y 3 kg de piensos vegetales. La marca B vende sacos con 6 kg de piensos animales y 4 kg de piensos vegetales. Si los sacos de la marca A cuestan 12 euros y los de la marca B cuestan 11 euros,

a) ¿cuál es la combinación de compra de sacos de cada marca que se ha de realizar semanalmente para minimizar el coste?
b) ¿cuál sería dicho coste mínimo?

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Con el fin de vender un exceso de producción de 100 bañadores y 200 pares de chancletas, una tienda de ropa de playa prepara dos promociones: la oferta azul y la oferta amarilla. La oferta azul consiste en un lote con tres pares de chancletas y un bañador por 50 euros, y la oferta amarilla, en un lote con un par de chancletas y dos bañadores por 30 euros. Para cumplir los propósitos de la tienda, sería necesario que el número de lotes vendidos de la oferta azul fuese la mitad o más que el número de lotes vendidos de la oferta amarilla.

a) Determine la función objetivo y las restricciones, y dibuje la región de las posibles opciones de venta que tiene la tienda.
b) ¿Cuántos lotes de cada tipo se tendrán que vender para optimizar los ingresos? ¿Cuánto serán estos ingresos?

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En una pastelería quieren preparar cajitas de panellets para obsequiar a los mejores clientes durante la semana de la Castañada. En total, disponen de 120 panellets de piñones y de 150 panellets de coco. Quieren preparar cajitas de dos tipos: las del primer tipo contendrán 3 panellets de piñones y 2 de coco, y las del segundo tipo contendrán 4 panellets de piñones y 6 de coco. La idea de la pastelería es preparar el número máximo de cajitas posible con los panellets de los que disponen teniendo en cuenta que, como mínimo, deben preparar 9 cajitas de cada tipo.

a) Determine la función objetivo y las restricciones. Dibuje la región factible.
b) Determine cuántas cajitas hay que preparar de cada tipo para hacer el máximo número de obsequios posible. Indique si, en este caso, se utilizarán todos los panellets disponibles y, si no es así, cuántos sobrarán de cada tipo.

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En un almacén de frutas disponen de 800 kg de manzanas, 800 kg de naranjas y 500 kg de plátanos. Con estas existencias van a poner a la venta dos tipos de lotes de frutas, A y B. El lote A consta de 1 kg de manzanas, 2 kg de naranjas y 1 kg de plátanos; mientras que el lote B consta de 2 kg de manzanas, 1 kg de naranjas y 1 kg de plátanos. Si los lotes A se venden a 12 euros cada uno y los lotes B a 14 euros cada uno, determinar, mediante técnicas de programación lineal, el número de lotes de cada tipo que ha de vender el almacén para maximizar sus ingresos. ¿A cuánto asciende ese ingreso máximo?

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En el siguiente problema de programación lineal maximiza la función sujeta a las siguientes restricciones:

a) Dibuja la región factible.
b) Determina los vértices de la región factible.
c) Indica el máximo del problema dado y su valor.

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