Archivo de la etiqueta: Puntos críticos

Problema 1214

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función f(x)=e^x(x^2-x+1).

b) Justifique si existe algún valor de x tal que f(x)=2.

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Problema 1188

Sea la función f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R, f(x)=x^3-6x^2+9x.

a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.
c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.

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Problema 1149

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva y=4-x^2 de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

p1149

a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4} nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.

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Problema 1142

Trazamos la recta tangente a la función f(x)=\dfrac1{x^2}+1 por un punto P=(a,f(a)) del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forman un triángulo.

p1142

a) Compruebe que el área de este triángulo, en función de a, viene dada por la función

g(a)=\dfrac{(a^2+3)^2}{4a}.

b) ¿En qué punto P el área del triángulo es mínimo? Calcula dicho valor mínimo.

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