Archivo de la etiqueta: Puntos críticos

Problema 1214

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Máximos y mínimos, Monotonía, Puntos críticos, Teorema de Bolzanodurán

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función $f(x)=e^x(x^2-x+1)$ .

b) Justifique si existe algún valor de x tal que $f(x)=2$ .

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Problema 1205

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Máximos y mínimos, Monotonía, Puntos críticos, Recta normal, Recta tangentedurán

Sea la función $f(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2+1}$ .

a) Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función f y clasifícalos.
b) Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x=0.

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Problema 1188

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IICurvatura, funciones, Máximos y mínimos, Monotonía, Punto de inflexión, Puntos críticos, Puntos de corte, Recta tangente, Representación de funcionesdurán

Sea la función $f:~\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ , $f(x)=x^3-6x^2+9x$ .

a) Halla los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión.
b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboza una gráfica de la función.
c) Calcula la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2.

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Problema 1163

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, optimización, Puntos críticosdurán

a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola $y=4-x^2$ , un cateto sobre el eje X y el otro paralelo al eje Y, obtenga los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.

b) Enuncie los teoremas de Bolzano y Rolle.

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Problema 1149

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIDerivadas, funciones, Monotonía, optimización, Puntos críticosdurán

Se han encontrado unas pinturas rupestres en una cueva situada en una zona muy pedregosa. Hay un camino que bordea parcialmente la cueva formado por el arco de curva $y=4-x^2$ de extremos (0, 4) y (2, 0). La cueva está situada en el punto de coordenadas (0, 2), tal como se muestra en la figura, y se quiere habilitar un acceso rectilíneo desde el camino a la cueva que sea lo más corto posible.

p1149

a) Identificar en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde donde se quiere habilitar el acceso. Compruebe que la función $f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}$ nos da la distancia desde cada punto del camino a la cueva.
b) Calcular las coordenadas del punto del camino que queda más cerca de la cueva y decir cuál será la longitud del acceso d.

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Problema 1142

📖Análisis matemático II, Optimización II, Selectividad Mat IIfunciones, Monotonía, optimización, Puntos críticosdurán

Trazamos la recta tangente a la función $f(x)=\dfrac1{x^2}+1$ por un punto $P=(a,f(a))$ del primer cuadrante. Esta recta junto con los ejes de coordenadas forman un triángulo.

p1142

a) Compruebe que el área de este triángulo, en función de a, viene dada por la función

$g(a)=\dfrac{(a^2+3)^2}{4a}$ .

b) ¿En qué punto P el área del triángulo es mínimo? Calcula dicho valor mínimo.

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Problema 1138

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIExtremos relativos, funciones, Puntos críticos, Recta normal, Recta tangentedurán

Sea $f:[0,2\pi]\rightarrow\mathbb R$ la función definida por $f(x)=\dfrac{\text{sen}\,x}{2-\cos x}$ .

a) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa $x=\frac\pi3$ .

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Problema 1128

📖Análisis matemático II, Estudio de funciones II, Selectividad Mat IIfunciones, Puntos críticos, Test de la derivada segundadurán

Dada la función $f(x)=ax^3+bx^2+c$ , obtener los valores de a, b y c para que su gráfica pase por (0,2) y tenga un extremo en (1,-1). ¿Tiene f más extremos?