Archivo de la etiqueta: Regla de Cramer

Problema 1828

Tres primos, Pablo, Alejandro y Alicia, se van a repartir un premio de 9450 euros de forma directamente proporcional a sus edades. La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en tres años al doble de la edad de Alicia. Además, la edad de los tres primos juntos es de 45 años. Sabiendo que en el reparto del premio la diferencia entre lo que recibe Pablo y lo que recibe Alicia es de 420 euros, calcule las edades de los tres primos y el dinero que recibe cada uno por el premio.

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Problema 1778

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a:

\left\{\begin{array}{rl}x+y+az&=1\\x+ay+z&=a\\ax+y+z&=a+3\end{array}\right.

a) Determine para qué valores de a el sistema tiene solución única. Si es posible, calcule dicha solución para a = 0.
b) Determine para qué valor de a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.
c) Determine para qué valor de a el sistema no tiene solución.

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Problema 1775

Sea a un parámetro real cualquiera. Considere la matriz:

A=\begin{pmatrix}1&1&a\\1&a&1\\a&1&1\end{pmatrix}

a) Determina para qué valores del parámetro a existe la inversa de la matriz A.


Sea el sistema de ecuaciones

A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

b) Discute el sistema de ecuaciones para los distintos valores del parámetro a.
c) Resuelve el sistema de ecuaciones cuando sea compatible.

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Problema 1742

a) El club deportivo Collarada está formado por 60 deportistas de las siguientes disciplinas: esquí alpino, esquí nórdico y escalada. Se sabe que hay 16 deportistas menos de esquí alpino que la suma de los de esquí nórdico y escalada. Además, el número de deportistas de esquí alpino más los de escalada es tres veces el número de deportistas de esquí nórdico. Calcula el número de deportistas de cada disciplina.

b) Sabiendo que a = −2, calcule el valor del siguiente determinante.

\begin{vmatrix}a&a+b&a-c\\2a&3a+2b&4a-2c\\3a&6a+3b&10a-3c\end{vmatrix}

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Problema 1719

Los salarios de la madre, el padre y la hija ascienden a 5850 euros mensuales. Sabiendo que el salario del padre es igual a la suma del salario de la hija más la mitad del salario de la madre y que la madre gana el triple que su hija. Se pide:

a) Plantea un sistema de tres ecuaciones donde las incógnitas sean lo que cobra cada miembro de la familia.
b) Resuelve el sistema anterior utilizando el método de Gauss o la regla de Cramer para averiguar cuánto cobra cada miembro de la familia.

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Problema 1667

Tres nietos desean hacer un regalo de 60 euros a su abuela y deciden reunir esta cantidad de la siguiente forma: Luis, el mayor, aporta el triple de lo que aportan los otros dos juntos. Carmen aporta 3 euros por cada dos que aporta Pedro.

a) Plantear el sistema de ecuaciones lineales.
b) Resolver el sistema.
c) ¿Cuánto aporta cada nieto?

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Problema 1641

En una empresa de 57 trabajadores el gasto en salarios en este mes ha sido de 62000 euros. En la empresa hay trabajadores de tres categorías, denominadas A, B y C. Este mes el salario de los trabajadores de la categoría A ha sido de 800 euros, el de los trabajadores de la categoría B de 1000 euros y el de los trabajadores de la categoría C de 2000 euros. Una auditoría externa ha indicado que la desigualdad salarial entre los trabajadores de la empresa es excesiva, por lo que se ha decidido que el próximo mes se incrementará en un 4% el salario a los trabajadores de la categoría A, se mantendrá el salario a los trabajadores de la categoría B y se rebajará en un 10% el salario a los trabajadores de la categoría C. De esta manera, el gasto de la empresa en salarios en el próximo mes será un 2% inferior al gasto en salarios de este mes. ¿Cuántos trabajadores de cada categoría tiene la empresa?

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Problema 1636

Una empresa de productos lácteos ingresó el pasado año un total de 1.800.000 euros por las ventas de quesos. Las exportaciones a la Unión Europea aportaron tantos ingresos como las ventas a nivel estatal y las exportaciones a países extracomunitarios juntas. Éste año la empresa ha ingresado 1.950.000 euros y sabemos que las ventas estatales han disminuido un 5%, las exportaciones a la Unión Europea han aumentado un 15% y las exportaciones a países extracomunitarios han aumentado un 10%. Determine las cantidades que ingresó por cada concepto (ventas en el ámbito estatal, exportaciones a la Unión Europea y exportación a países extracomunitarios) el año pasado, así como las cantidades que ha ingresado este año.

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