Archivo de la etiqueta: Teorema de Bolzano

Problema 1214

a) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos (máximos y mínimos) de la función f(x)=e^x(x^2-x+1).

b) Justifique si existe algún valor de x tal que f(x)=2.

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Problema 1169

Dadas las funciones f(x)=x^3+3x^2-1\text{ y }g(x)=6x, se pide:

a) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.
b) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x) con pendiente mínima.
c) Calcular \displaystyle\int_1^2\dfrac{f(x)}{g(x)}~dx.

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Problema 854

Da respuesta a los apartados siguientes:

a) De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola y=4-x^2, un cateto sobre el eje x y el otro paralelo al eje y, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.
b) Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.

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Problema 740

Considere la función f(x)=\dfrac{2x^3-5x+4}{1-x}.

a) Calcule su dominio y estudiar su continuidad. ¿Tiene alguna asíntota vertical?
b) Observe que f(-2)=-\frac23,~f(0)=4,~f(2)=-10. Razonar si, a partir de esta información, podemos deducir que el intervalo (-2, 0) contiene un cero de la función. ¿Podemos deducirlo para el intervalo (0, 2)? Encuentre un intervalo determinado por dos enteros consecutivos que contenga, como mínimo, un cero de esta función.

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Problema 734

Un brote de una enfermedad se propaga a lo largo de unos días. El número de enfermos t días después de iniciarse el brote viene dado por una función F(t) tal que F'(t)=t^2(10-t).

a) Sabiendo que inicialmente había 6 personas afectadas, calcule la función F(t).
b) Calcule cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el número máximo de enfermos y cuál es ese número.
c) Calcule, usando el teorema de Bolzano, cuántos días dura el brote.

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