Archivo de la etiqueta: Test de la derivada segunda

Problema 1837

Se desea construir un cuadrado y un triángulo equilátero cortando en dos partes un cable de acero de 240 m. de longitud.

a) Calcular la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado en función del valor x que corresponde con los metros que mide un lado del triángulo.
b) Calcular la longitud de cable necesaria para construir el triángulo de modo que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea mínima y calcular el área mínima.

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Problema 1740

a) Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b), donde a > 0 y b > 0 y además el punto (a, b), está situado en la curva de ecuación:

y=\dfrac1{x^2}+9

De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

b) Determine:

\displaystyle\int\dfrac1{9-x^2}~dx

c) Determine el valor de la constante k para que se verifique que:

\displaystyle\lim_{x\rightarrow1}\dfrac{x^3+x^2+kx+3}{x^3-x^2-x+1}=2

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Problema 1720

Se desea vallar un terreno rectangular usando 100 metros de una tela metálica. Se ha decidido dejar una abertura de 20 metros sin vallar en uno de los lados de la parcela para colocar una puerta. Calcular las dimensiones de todos los lados de la parcela rectangular de área máxima que puede vallarse de esa manera. Calcular el valor de dicha área máxima.

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Problema 1643

Desde el inicio de 1980, la capacidad (cantidad de gas que puede extraerse) de una explotación gasística, expresada en miles de metros cúbicos, viene dada por la función

f(x)=36600+1500x-15x^2

donde la variable x representa el tiempo en años transcurridos desde el inicio de 1980.

a) Calcula la capacidad de la explotación al inicio de 1980.
b) Calcula cuánto tiempo ha de pasar desde el inicio de 1980 para que la capacidad alcance su valor máximo, y cuál es dicho valor máximo (en miles de metros cúbicos).
c) Si el beneficio en euros por metro cúbico de gas disminuye con los años según la función g(x)=3-\frac{3x^2}{12100}, calcula cuánto tiempo debe pasar para que la explotación deje de ser rentable y cuál será la capacidad (en miles de metros cúbicos) de la explotación en ese momento.

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Problema 1590

Dada la función f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac a{1-x}&\text{si}&x\leq0\\bx^2+2x+c&\text{si}&x>0\end{array}\right. donde a,~b,~c son parámetros reales. Se pide:

a) Determina los valores de los parámetros para que f(x) sea continua en x=0, la función tenga un extremo relativo en x=1 y f'(-1)=-1. Caracteriza si el extremo es máximo o mínimo.
b) Calcula, para los valores a=1,~b=-2,~c=3;~\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x) y \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x).
c) Calcula, para los valores a=1,~b=-2,~c=3;~\int_1^2f(x)~dx.

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Problema 1498

Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm y 40 cm respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular R, uno de cuyos vértices es el punto (x, y) (véase la figura).

a) Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de x, cuando 0\leq x\leq32.
b) Calculad las dimensiones que tendrá R para que su área sea máxima.
c) Calculad el valor de dicha área máxima.

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Problema 1478

Se considera la función f(x)=ax^3+bx+11

a) Calcula el valor de los parámetros ab para que la función f tenga un extremo relativo en el punto (2, 5).
b) En el caso a=\frac38 y b=\frac{-9}2, estudia los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función.
c) En el caso a=\frac38 y b=\frac{-9}2, representa y calcula el área de la región limitada por la función, el eje de abscisas OX y las rectas x=−2 y x=2.

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