Archivo de la etiqueta: Test de la derivada segunda

Problema 1470

Sea la función f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+A.

a) Obtener los valores de los parámetros A, B y C para que la gráfica de f pase
por el punto (0,1) y tenga un mínimo en el punto (1,1).
b) ¿La función obtenida tiene otros máximos o mínimos? En caso afirmativo,
encontrarlos.

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Problema 1423

El coste de producción de x unidades de un determinado producto viene dado por la función C(x)=\frac14x^2+35x+25 y su precio de venta es: p=50-\frac x4 euros. Hallar:

a) El número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo.
b) El precio al que deben venderse las unidades obtenidas en el apartado a).
c) El beneficio máximo.

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Problema 1415

En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a).

Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 5 euros cada cm² y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 3 euros cada cm².

a) Si denotamos por x el radio de las tapas y por y la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por 10\pi x^2+6\pi xy.
b) Si el volumen de la lata es 90\pi cm³ , determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.

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Problema 1352

Considerar la función f tal que su primera derivada es f'(x)=x^3+bx+4, donde b es un parámetro real.

a) Determinar el valor de b para que f tenga un extremo relativo en x=-1 y razonar si se trata de un máximo o de un mínimo.
b) Suponiendo que b=1, encontrar una primitiva de f'(x).
c) Utilizar el resultado anterior para encontrar f(x) con b=1 sabiendo que f(2)=-1.

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Problema 1347

En una empresa se pueden producir hasta 500 mesas cada mes. La función de costes en relación con el número q de mesas producida es C(q)=\frac{q^3}{50}+8q+40. Si q es el número de mesas producidas, el coste medio de cada mesa se expresa mediante la función Q(q)=\frac{C(q)}q.

a) Cacular el coste medio de cada mesa si la empresa produce 5. ¿Y si produce 20?
b) Determinar cuántas mesas hay que producir para que el coste medio sea mínimo. Justificar que se trata efectivamente de un mínimo y calcular este coste medio.

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Problema 1340

El gasto G (en euros) por el consumo de energía eléctrica en un taller durante las 8 horas de funcionamiento varía de acuerdo con la función:

G(t)=2t^3-27t^2+84t+60\qquad(0\leq t\leq8)

donde t es el tiempo transcurrido en horas. Se pide, justificando las respuestas, determinar a qué horas se producen los gastos máximo y mínimo y los valores de dichos gastos máximo y mínimo.

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Problema 1297

Un centro de formación organiza un curso subvencionado que tiene un coste fijo de 9.000 €, al que hay que sumar una cantidad que varía según el número de alumnos del curso y que es dada por la función 0.02x^3-24x, donde x representa el número de alumnos matriculados. El Consejo Comarcal ha otorgado al centro una subvención de 5.000 € para la organización del curso y el Ayuntamiento paga el centro 30 € por cada alumno matriculado.
El gasto que debe asumir el centro es la diferencia entre el coste total del curso y las dos subvenciones recibidas. ¿Cuántos alumnos deben matricularse en el curso para que el gasto sea mínimo para el centro y cuál sería este gasto?

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Problema 1295

Considere la función f(x)=ax^4+bx^2+c

a) Hallar los valores de los parámetros a, b y c sabiendo que la función tiene un máximo en el punto (2, 1) y un mínimo en el punto (0, -1).
b) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función para los valores de los parámetros a, b y c encontrados en el apartado anterior.

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