Teorema de Bayes

Hay experiencias cuyas probabilidades podemos calcular a partir de otras pero no al contrario por la simple experiencia. Por poner un ejemplo muy simplificado, imaginemos que una persona puede presentar cierto síntoma A y cierta enfermedad B. Dicho síntoma A no siempre se debe a B, y no siempre que se padezca B se presenta el síntoma A, debido a otros factores.
Lo que sí podemos calcular es la probabilidad P[A] ya que quien sufre el síntoma lo puede comunicar. Además, al acudir al centro de salud nos pueden diagnosticar si padecemos la enfermedad B o no, podemos calcular P[B/A].
Lo que no podemos calcular experimentalmente es la probabilidad de que alguien tenga el síntoma A si padece la enfermedad B, P[A/B], ya que nadie acude al centro de salud si no tiene síntomas  de enfermedad y si no acude no puede ser diagnosticado de la enfermedad B que se supone que padece. No podemos tener la probabilidad de manera experimental pero sí obtenerla gracias al Teorema de Bayes.

El Teorema de Bayes relaciona las probabilidades condicionadas anteriores siendo válidas siempre que se cumplan ciertas condiciones (\sum A_i=E,~A_i\cap A_j=\varnothing,~i\neq j), y de las que conocemos los distintos P[B/A_i]. Entonces:

P[A_i/B]=\dfrac{P[A_i]\cdot P[B/A_i]}{P[B]}

En el ejemplo de la enfermedad mencionado anteriormente y en multitud de problemas escritos en este sitio utilizamos la expresión:

\boxed{P[A/B]=\dfrac{P[A]\cdot P[B/A]}{P[B]}}

Thomas Bayes (1702-1761)

De aquí podemos obtener otros resultados interesantes como:

\displaystyle\bullet~\sum_{i=1}^nP[A_i/B]=1\\\\\bullet~P[\overline A/B]=1-P[A/B]

Problemas de aplicación del Teorema de Bayes.