Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en el intervalo [a,b] y sea f(a)\mbox{ y }f(b) de signos distintos (es decir, f(a)\cdot f(b)<0), entonces existe un valor c\in(a,b) tal que f(c)=0.

Este teorema se utiliza para aproximar el valor de las raíces de ciertas funciones (es decir, el valor de x donde f(x)=0) cuando resulta difícil o imposible obtener la expresión exacta de dicha raíz. También se utiliza para justificar la existencia de raíces para ciertas funciones.

Ejemplo: Demostrar que la función f(x)=2x+\cos(x)-2 posee una raíz en el intervalo [0,\frac \pi2].

Solución:

La función f es una función continua en el intervalo [0,\frac \pi2] por tratarse de la suma de funciones continuas. Por otra parte, f(0)=-1 y f(\frac \pi2)=\pi-2\approx 1.14, por lo que f(0)\cdot f(\frac \pi2)<0 cumpliéndose así las condiciones del teorema de Bolzano.

Podemos asegurar que existe un valor c en el intervalo (0,\frac \pi2) tal que f(c)=0.

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